O trabalho de Escher é um testemunho visual de sua relação intrincada com conceitos matemáticos. Suas obras exploram objetos impossíveis, reflexões, simetria, perspectiva, poliedros truncados e estrelados, além de geometria hiperbólica e mosaicos. Embora ele próprio tenha afirmado não possuir habilidades matemáticas, sua colaboração com matemáticos como George Pólya, Roger Penrose, Harold Coxeter e o cristalógrafo Friedrich Haag prova o contrário. Escher também conduziu pesquisas próprias sobre tesselação, que é a disposição repetitiva de padrões em uma superfície.
No início de sua carreira, ele se inspirou na natureza, fazendo estudos de insetos, paisagens e plantas como líquens , todos os quais ele usou como detalhes em suas obras de arte. Viajou pela Itália e Espanha, esboçando edifícios, paisagens urbanas, arquitetura e os azulejos da Alhambra e da Mesquita de Córdoba , e tornou-se cada vez mais interessado em sua estrutura matemática .
O impacto das viagens de Escher é evidente em sua arte. A arquitetura mourisca da Alhambra, com suas simetrias geométricas e padrões intrincados, influenciou profundamente seu trabalho, despertando seu interesse pela matemática da tesselação.
As paisagens italianas também inspiraram suas primeiras criações, enquanto suas viagens de estudo lhe proporcionaram uma compreensão mais profunda da estrutura matemática das formas arquitetônicas e naturais.
A vida de Escher posteriormente o levou à Bélgica e, mais tarde, à Holanda, onde sua arte amadureceu e floresceu. Sua paixão pela simetria, padrões interligados e a abordagem infinita ao final de sua carreira culminou em obras como "Snakes", que encapsulam seu fascínio pela geometria e pelo infinito. Embora tenha falecido em 1972, seu legado permanece vivo, continuando a intrigar e inspirar aqueles que exploram a interseção entre arte e matemática.
O obra de Escher
Muito do trabalho de Escher é inescapavelmente matemático. Isso causou uma desconexão entre sua fama popular total e a falta de estima com que ele foi visto no mundo da arte.
Sua originalidade e domínio das técnicas gráficas são respeitados, mas suas obras foram consideradas muito intelectuais e insuficientemente líricas.
Movimentos como a arte conceitual , até certo ponto, inverteram a atitude do mundo da arte em relação à intelectualidade e ao lirismo, mas isso não reabilitou Escher, porque os críticos tradicionais ainda não gostavam de seus temas narrativos e de seu uso da perspectiva. No entanto, essas mesmas qualidades tornaram seu trabalho altamente atraente para o público
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Mosaicos
Em seus primeiros anos, Escher esboçou paisagens e natureza. Ele também esboçou insetos como formigas, abelhas, gafanhotos e louva-a-deus, que apareceram com frequência em seus trabalhos posteriores. Seu amor precoce pelas paisagens romanas e italianas e pela natureza criou um interesse pela tesselação, que ele chamou de Divisão Regular do Plano ; esse se tornou o título de seu livro de 1958, completo com reproduções de uma série de xilogravuras baseadas em mosaicos do plano, nas quais ele descrevia a construção sistemática de desenhos matemáticos em suas obras de arte. Ele escreveu: " Os matemáticos abriram o portão que leva a um domínio extenso"
Escher trabalhou principalmente na mídia de litografias e xilogravuras , embora os poucos mezzotints que ele fez sejam considerados obras-primas da técnica. Em sua arte gráfica, ele retratou relações matemáticas entre formas, figuras e espaço. Integradas em suas impressões estavam imagens espelhadas de cones, esferas, cubos, anéis e espirais.
Escher também era fascinado por objetos matemáticos como a faixa de Möbius , que possui apenas uma superfície. Sua xilogravura Möbius Strip II (1963) retrata uma cadeia de formigas marchando para sempre sobre o que, em qualquer lugar, são as duas faces opostas do objeto - que são vistas na inspeção como partes da superfície única da tira. Nas próprias palavras de Escher:
Uma faixa sem fim em forma de anel geralmente tem duas superfícies distintas, uma interna e outra externa. No entanto, nesta faixa, nove formigas vermelhas rastejam umas atrás das outras e viajam pela frente e também pelo verso. Portanto a tira tem apenas uma superfície.
Jornadas de Estudo
Tesselações mouriscas , incluindo esta na Alhambra , inspiraram o trabalho de Escher com telhas do avião. Ele fez esboços deste e de outros padrões da Alhambra em 1936.
Em 1922, ano importante de sua vida, Escher viajou pela Itália, visitando Florença , San Gimignano , Volterra , Siena , e Ravello . No mesmo ano, viajou pela Espanha, visitando Madrid , Toledo , e Granada .
Ele ficou impressionado com o campo italiano e, em Granada, com a arquitetura mourisca da Alhambra do século XIV . Os intrincados desenhos decorativos da Alhambra, baseados em simetrias geométricas apresentando padrões repetitivos entrelaçados nos azulejos coloridos ou esculpidos nas paredes e tetos, despertou seu interesse pela matemática da tesselação e tornou-se uma influência poderosa em seu trabalho.
Geometrias
Embora Escher não tivesse formação matemática - a sua compreensão da matemática era em grande parte visual e intuitiva - a sua arte tinha uma forte componente matemática , e vários dos mundos que desenhou foram construídos em torno de objectos impossíveis.
Depois de 1924, Escher começou a desenhar paisagens na Itália e na Córsega com perspectivas irregulares que são impossíveis na forma natural. Sua primeira impressão de uma realidade impossível foi Still Life and Street (1937); escadas impossíveis e múltiplas perspectivas visuais e gravitacionais aparecem em obras populares como Relatividade (1953). House of Stairs (1951) atraiu o interesse do matemático Roger Penrose e seu pai, o biólogo Lionel Penrose .
Em 1956, eles publicaram um artigo, "Objetos impossíveis: um tipo especial de ilusão visual" e mais tarde enviaram uma cópia a Escher. Escher respondeu, admirando os lances de escadas continuamente ascendentes dos Penroses , e anexou uma impressão de Ascendente e Descendente (1960). O papel também continha o tribar ou triângulo de Penrose , que Escher usou repetidamente em sua litografia de um edifício que parece funcionar como uma máquina de movimento perpétuo , Waterfall (1961).
Escher estava interessado o suficiente no tríptico de Hieronymus Bosch de 1500 , O Jardim das Delícias Terrenas, para recriar parte de seu painel direito, Inferno , como uma litografia em 1935. Ele reutilizou a figura de uma mulher medieval com um cocar de duas pontas. e um vestido longo em sua litografia Belvedere em 1958; a imagem é, como muitos de seus outros "lugares inventados extraordinários", povoada de " bufões , patifes e contempladores". Assim, Escher não só estava interessado na geometria possível ou impossível, mas era, nas suas próprias palavras, um “entusiasta da realidade”; ele combinou "o espanto formal com uma visão vívida e idiossincrática".
Hieronymus Bosch de 1500 , O Jardim das Delícias Terrenas
Sólidos Platônicos
Escher frequentemente incorporava objetos tridimensionais como os sólidos platônicos como esferas, tetraedros e cubos em suas obras, bem como objetos matemáticos como cilindros e poliedros estrelados . Na gravura Répteis , ele combinou imagens bidimensionais e tridimensionais. Em um de seus artigos, Escher enfatizou a importância da dimensionalidade:
O formato achatado me irrita — tenho vontade de dizer aos meus objetos, vocês são muito fictícios, aí deitados um ao lado do outro estáticos e congelados: façam alguma coisa, saiam do papel e me mostrem do que vocês são capazes! ... Então eu os faço sair do avião. ...Meus objetos ...podem finalmente retornar ao plano e desaparecer em seu local de origem.
A arte de Escher é especialmente apreciada por matemáticos como Doris Schattschneider e cientistas como Roger Penrose , que gostam do uso de poliedros e distorções geométricas . Por exemplo, em Gravitação , os animais sobem em torno de um dodecaedro estrelado .
Escultura de um pequeno dodecaedro estrelado , como na obra Gravitação de Escher de 1952 ( Universidade de Twente )
As duas torres da construção impossível de Waterfall são encimadas por poliedros compostos, um composto de três cubos e o outro um dodecaedro rômbico estrelado agora conhecido como sólido de Escher .
Ele usou este sólido em sua xilogravura Estrelas de 1948 , que também contém todos os cinco sólidos platônicos e vários sólidos estrelados, representando estrelas; o sólido central é animado por camaleões subindo pela moldura enquanto ela gira no espaço. Escher possuía um telescópio refrator de 6 cm e era um astrônomo amador suficientemente perspicaz para registrar observações de estrelas binárias .
Níveis de realidade
A expressão artística de Escher foi criada a partir de imagens em sua mente, e não diretamente de observações e viagens a outros países. Seu interesse pelos múltiplos níveis de realidade na arte é visto em obras como Drawing Hands (1948), onde são mostradas duas mãos, cada uma desenhando a outra. O crítico Steven Poole comentou que
É uma representação elegante de um dos fascínios duradouros de Escher: o contraste entre a planicidade bidimensional de uma folha de papel e a ilusão de volume tridimensional que pode ser criada com certas marcas. Em Drawing Hands , o espaço e o plano coexistem, cada um nascendo e retornando ao outro, a magia negra da ilusão artística tornada assustadoramente manifesta.
Geometria infinita e hiperbólica
Em 1954, o Congresso Internacional de Matemáticos reuniu-se em Amsterdã, e NG de Bruin organizou uma exposição do trabalho de Escher no Museu Stedelijk para os participantes. Tanto Roger Penrose quanto HSM Coxeter ficaram profundamente impressionados com a compreensão intuitiva da matemática de Escher. Inspirado pela Relatividade , Penrose idealizou seu tribar , e seu pai, Lionel Penrose, idealizou uma escada sem fim. Roger Penrose enviou esboços de ambos os objetos para Escher, e o ciclo de invenção foi fechado quando Escher criou então a máquina de movimento perpétuo de Cachoeira e a marcha interminável das figuras-monges de Ascendente e Descendente .
Em 1957, Coxeter obteve permissão de Escher para usar dois de seus desenhos em seu artigo "Simetria cristalina e suas generalizações". Ele enviou a Escher uma cópia do artigo; Escher registrou que a figura de um mosaico hiperbólico de Coxeter "me deu um grande choque": a repetição regular infinita dos ladrilhos no plano hiperbólico , diminuindo rapidamente em direção à borda do círculo, era precisamente o que ele queria para permitir-lhe representar o infinito . em um plano bidimensional.
Escher estudou cuidadosamente a figura de Coxeter, marcando-a para analisar os círculos sucessivamente menores com os quais (deduziu ele) ela havia sido construída. Ele então construiu um diagrama, que enviou a Coxeter, mostrando sua análise; Coxeter confirmou que estava correto, mas decepcionou Escher com sua resposta altamente técnica. Mesmo assim, Escher persistiu com o ladrilho hiperbólico , que chamou de "Coxetering". Entre os resultados estavam a série de xilogravuras Circle Limit I–IV . Em 1959, Coxeter publicou sua descoberta de que esses trabalhos eram extraordinariamente precisos: "Escher acertou absolutamente ao milímetro"
Em matemática e ciências
Doris Schattschneider identifica onze vertentes de pesquisa matemática e científica antecipadas ou diretamente inspiradas por Escher. Estas são as classificações de ladrilhos regulares usando as relações de borda dos ladrilhos: ladrilhos de duas cores e de dois motivos ( simetria de contra-troca ou antissimetria ); simetria de cores (em cristalografia ); metamorfose ou mudança topológica ; cobrir superfícies com padrões simétricos; Algoritmo de Escher (para geração de padrões utilizando quadrados decorados); criando formas de ladrilhos; definições locais versus globais de regularidade; simetria de um ladrilho induzida pela simetria de um ladrilho; ordem não induzida por grupos de simetria; o preenchimento do vazio central na litografia Print Gallery de Escherpor H. Lenstra e B. de Smit.
O livro Gödel, Escher, Bach, de 1979 , vencedor do Prêmio Pulitzer , de Douglas Hofstadter, discute as ideias de autorreferência e loops estranhos expressos na arte de Escher. O asteróide 4444 Escher foi nomeado em homenagem a Escher em 1985
Reconstrução de Doris Schattschneider do diagrama de ladrilho hiperbólico enviado por Escher ao matemático HSM Coxeter
A Escada de Penrose
História da descoberta
Os Penroses
Subindo e descendo de M. C. Escher.
Escher, na década de 1950, ainda não havia desenhado nenhuma figura impossível (e também não tinha conhecimento de sua existência). Roger Penrose foi apresentado ao trabalho de Escher no congresso internacional de matemáticos em Amsterdã (1954). Ele ficou "absolutamente fascinado" pelo trabalho de Escher e, em sua viagem de volta à Inglaterra, decidiu produzir algo "impossível" por conta própria. Depois de experimentar vários designs de barras sobrepostas, ele finalmente chegou ao triângulo impossível. Roger mostrou seus desenhos ao pai, que imediatamente produziu diversas variantes, inclusive o impossível lance de escadas.
Eles queriam publicar suas descobertas, mas não sabiam à que campo o assunto pertencia. Como Lionel Penrose conhecia o editor do jornal britânico de psicologia e o convenceu à publicar seu pequeno manuscrito, a descoberta foi, finalmente, apresentada como um assunto psicológico. Após a publicação, em 1958, os Penroses enviaram uma cópia do artigo à Escher como prova de sua estima.
Enquanto os Penroses deram crédito à Escher em seu artigo, Escher mencionou em uma carta à seu filho, em janeiro de 1960, que ele estava:
trabalhando no desenho de uma nova imagem, que apresentava um lance de escadas que só subia ou descia, dependendo de como você o enxergava. "As escadas" formam uma construção circular fechada, como uma cobra mordendo o próprio rabo. E ainda assim eles podem ser desenhados na perspectiva correta: cada degrau acima (ou abaixo) do que o anterior. [...] descobri o princípio em um artigo que me foi enviado e no qual eu mesmo fui apontado como o criador de vários objetos impossíveis. Mas eu não estava familiarizado com as etapas contínuas das quais o autor havia incluído um esboço claro, mas superficial, embora eu estivesse empregando alguns de seus outros exemplos.
Escher foi cativado pelas escadas sem fim e, posteriormente (em abril de 1960), escreveu uma carta aos Penroses:
Há alguns meses, um amigo meu enviou-me uma fotocópia de seu artigo... As suas figuras 3 e 4, o "lance contínuo de degraus", eram inteiramente novas para mim. Fiquei tão emocionado com a ideia que, recentemente, ela me inspirou à produzir um novo quadro, que gostaria de enviar à vocês como um símbolo de minha estima. Caso vocês tenham publicado outros artigos sobre objetos impossíveis ou tópicos relacionados, ou se vocês souberem de algum desses artigos, eu ficaria muito grato se vocês pudessem me enviar mais detalhes.
Em uma conferência de Escher em Roma (em 1985), Roger Penrose disse que foi muito inspirado pelo trabalho de Escher quando, ele e seu pai, descobriram a estrutura tribar de Penrose (isto é, o triângulo de Penrose) e as etapas contínuas.
Oscar Reutersvärd
O projeto da escadaria foi descoberto, anteriormente, pelo artista sueco Oscar Reutersvärd, mas nem Penrose nem Escher sabiam desses projetos. Inspirado por um programa de rádio sobre o método de composição de Mozart, descrito como "automatismo criativo" (ou seja, cada ideia criativa escrita inspirava uma nova ideia), Reutersvärd começou à desenhar uma série de objetos impossíveis em uma viagem de Estocolmo à Paris (em 1950) da mesma maneira ("inconsciente e automática"). Ele não percebeu que sua figura era um lance contínuo de escadas enquanto desenhava, mas o processo lhe permitiu traçar seus desenhos, cada vez mais complexos, passo a passo. Quando o subindo e descendo de M.C. Escher foi enviado à Reutersvärd (em 1961), ele ficou impressionado mas não gostou das irregularidades das escadas (2 × 15 + 2 × 9). Ao longo da década de 1960, Reutersvärd enviou várias cartas à Escher, para expressar sua admiração por seu trabalho, mas o artista holandês não respondeu. Roger Penrose só descobriu o trabalho da Reutersvärd em 1984.
Escadaria escheriana
A escadaria escheriana é um vídeo viral baseado na ilusão das escadas de Penrose. O vídeo, filmado no instituto de tecnologia de Rochester por Michael Lacanilao, foi editado para criar uma escada aparentemente cíclica de forma que se alguém andar em qualquer direção, acabará onde começou. O vídeo afirma que a escadaria, cujo nome evoca objetos impossíveis de M.C. Escher, foi construída na década de 1960 pelo arquiteto fictício Rafael Nelson Aboganda. O vídeo foi revelado como uma farsa da internet (hoax), já que pessoas viajaram para o instituto de tecnologia de Rochester para ver a escada.
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